Pratique dilatação superficial térmica e tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos.

Questão 1

Um painel de metal com coeficiente de dilatação superficial texto β=2,5 . 10 fim do texto à potência de menos 5 fim do exponencial espaço º reto C à potência de menos 1 fim do exponencialtem uma área inicial de 0 vírgula 5 espaço reto m ao quadrado. Se a temperatura do painel aumenta em 50 °C, qual será a variação da área?

Gabarito explicado

A variação da área devido à dilatação superficial pode ser calculada pela fórmula:

incremento reto A igual a reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto T

Onde:

incremento reto A é a variação da área,

reto A com 0 subscrito é a área inicial,

reto beta é o coeficiente de dilatação superficial, e

incremento reto T é a variação de temperatura.

Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado na fórmula:

incremento reto A igual a reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto Tincremento reto A igual a 0 vírgula 5 espaço reto m ao quadrado espaço. espaço 2 vírgula 5 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço numerador 1 sobre denominador º reto C fim da fração espaço. espaço 50 espaço º reto Cincremento reto A igual a 62 vírgula 5 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço reto m ao quadradoincremento reto A igual a 6 vírgula 25 espaço. espaço 10 à potência de menos 4 fim do exponencial espaço reto m ao quadrado

Portanto, a variação da área é de 6 vírgula 25 espaço. espaço 10 à potência de menos 4 fim do exponencial espaço reto m ao quadrado.

Questão 2

Um retângulo tem área inicial de 0 vírgula 2 espaço reto m ao quadrado. Quando aquecido, sua área aumenta para 0 vírgula 20002 espaço reto m ao quadrado devido à dilatação superficial. Se a variação da temperatura foi de 50 °C, qual é o coeficiente de dilatação superficial do material?

Gabarito explicado

Podemos determinar o coeficiente de dilatação superficial (beta) usando a fórmula:

reto beta espaço igual a numerador incremento reto A sobre denominador reto A com 0 subscrito. incremento reto T fim da fração

Onde,

incremento reto A : Variação da área

reto A com 0 subscrito : Área inicial

incremento reto T : Variação da temperatura

Substituindo os valores e realizando os cálculos:

reto beta igual a numerador incremento reto A sobre denominador reto A com 0 subscrito. incremento reto T fim da fraçãoreto beta igual a numerador parêntese esquerdo 0 vírgula 20002 espaço menos espaço 0 vírgula 2 parêntese direito sobre denominador 0 vírgula 2 espaço. espaço 50 fim da fraçãoreto beta igual a numerador 0 vírgula 00002 sobre denominador 10 fim da fraçãoreto beta igual a 0 vírgula 000002 espaço reto m ao quadradoreto beta igual a 2 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço º reto C

Questão 3

Uma chapa de prata tem uma área inicial de 0 vírgula 3 espaço reto m ao quadrado. Quando aquecido, sua área aumenta para 0 vírgula 301 espaço reto m ao quadrado devido à dilatação superficial. Se o coeficiente de dilatação superficial da prata é 38 sinal de multiplicação 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço estreito sinal de grau reto C à potência de menos 1 fim do exponencial, qual foi a variação de temperatura a que foi submetida?

Gabarito explicado

Podemos determinar a variação de temperatura usando a fórmula da dilatação superficial:

incremento reto A igual a reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto T

Onde:

incremento reto A é a variação da área,

reto A com 0 subscrito é a área inicial,

reto beta é o coeficiente de dilatação superficial, e

incremento reto T é a variação de temperatura.

Isolando o incremento reto T:

incremento reto T igual a numerador incremento reto A sobre denominador reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta fim da fração

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:

incremento reto T igual a numerador 0 vírgula 301 espaço menos espaço 0 vírgula 3 sobre denominador 0 vírgula 3 espaço. espaço 38 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial fim da fraçãoincremento reto T igual a numerador 0 vírgula 001 sobre denominador 11 vírgula 4 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial fim da fração igual aincremento reto T igual a numerador 0 vírgula 001 sobre denominador 11 vírgula 4 fim da fração espaço. espaço 10 à potência de 0 sobre 10 à potência de menos 6 fim do exponencialincremento reto T igual a 8 vírgula 77 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço. espaço 10 à potência de 0 sobre 10 à potência de menos 6 fim do exponencialincremento reto T igual a 8 vírgula 77 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 espaço fim do exponencial espaço. espaço 10 à potência de 0 menos parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito fim do exponencialincremento reto T igual a 8 vírgula 77 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 espaço fim do exponencial espaço. espaço 10 à potência de 6 espaçoincremento reto T igual a 8 vírgula 77 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 mais 6 espaço fim do exponencialincremento reto T igual a 8 vírgula 77 espaço. espaço 10 à potência de espaçoincremento reto T igual a 87 vírgula 7 espaço º Cincremento reto T igual a 87 vírgula 7 espaço º C

Portanto, a variação de temperatura a que o material foi submetido é de, aproximadamente, 87,7°C.

Questão 4

Um pedaço de vidro tem uma área inicial de 0,5 m ao quadrado. Quando resfriado, sua área reduz para 0,495 m ao quadrado devido à retração térmica. Se o coeficiente de dilatação superficial do vidro é 20 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço º reto C à potência de menos 1 fim do exponencial, qual foi a variação de temperatura a que o material foi submetido?

Gabarito explicado

A variação da área por variação térmica é dada pela fórmula:

incremento reto A igual a reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto Tincremento reto T espaço igual a espaço numerador incremento reto A sobre denominador reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço fim da fração

Substituindo os valores:

incremento reto T espaço igual a espaço numerador incremento reto A sobre denominador reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço fim da fraçãoincremento reto T espaço igual a espaço numerador 0 vírgula 495 espaço menos espaço 0 vírgula 5 sobre denominador 0 vírgula 5 espaço. espaço 20 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial fim da fraçãoincremento reto T espaço igual a espaço numerador menos 0 vírgula 005 sobre denominador 10 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial fim da fraçãoincremento reto T espaço igual a numerador menos 0 vírgula 005 sobre denominador 10 à potência de menos 4 fim do exponencial fim da fraçãoincremento reto T espaço igual a menos 0 vírgula 005 espaço. espaço 10 à potência de 0 menos parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim do exponencialincremento reto T espaço igual a menos 0 vírgula 005 espaço. espaço 10 à potência de 4incremento reto T espaço igual a menos 50 espaço º C

Assim, a variação foi de – 50°C.

Repare que o sinal negativo significa uma redução de 50º C na temperatura inicial e não que a temperatura final seja de – 50°C.

Questão 5

Uma cidade registrou a maior variação de temperatura do ano, com a mínima de 5 °C e a máxima de 35 °C.

Suponha que placas de certo material estejam sendo instaladas para cobrir uma superfície. Serão usadas quatro placas com 400 cm², perfeitamente ajustadas e sem folga entre elas.

A equipe de engenharia prevê que as dimensões das placas irão variar devido à dilatação e contração térmica. Assim, estipulam uma variação máxima permitida de 0,5 cm² na área de cada placa, baseados na variação de temperatura deste dia.

Considerando a máxima variação de temperatura registrada para a cidade naquele ano, qual é o material com maior coeficiente de dilatação térmica possível para ser utilizado?

Gabarito explicado

Para determinar o coeficiente de dilatação superficial a partir do linear basta multiplicá-lo por 2.

beta espaço igual a espaço 2 alfa

Vamos registrá-los em uma tabela.

Com os coeficientes de dilatação superficial, calcularemos as dilatações para os respectivos materiais utilizando a fórmula:

incremento reto A igual a reto A com 0 subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto T

Como área inicial:

400 x 4 = 1600 cm², por serem quatro placas.

Como variação de temperatura:

35 – 5 = 30 ºC

O projeto prevê uma dilatação máxima de 0,5 cm² por placa, logo, 4 x 0,5 = 2 cm² ao total.

Baseado na especificação do projeto, para que a dilatação não supere 2 cm², o material utilizado deverá ser o latão por possuir o maior coeficiente de dilatação possível dentre as opções de materiais.

Questão 6

Um soldador precisa encaixar um pino com 2 cm de diâmetro em um orifício existente em uma placa metálica com 1,99 cm de diâmetro. Para isso, resolveu aquecer a placa.

Se a temperatura inicial era de 22 °C, até qual temperatura a placa deve ser aquecida para o soldador realizar sua tarefa?

Gabarito explicado

Para realizar a tarefa, o furo e o pino devem possuir áreas iguais.

A área do pino é:

reto pi. reto r ao quadrado igual areto pi.1 ao quadrado igual areto pi espaço cm ²

A área do furo é:

pi. r ao quadrado igual api.0 vírgula 995 ao quadrado igual api.0 vírgula 990025

Para determinar a variação de temperatura necessária, utilizamos a fórmula:

incremento reto A igual a reto A com reto i subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto T

Isolamos o delta T na equação e substituímos os valores.

incremento reto T igual a numerador incremento reto A sobre denominador reto A com reto i subscrito espaço. espaço reto beta fim da fraçãoincremento reto T igual a numerador pi espaço menos 0 vírgula 990025 pi sobre denominador 0 vírgula 990025 pi espaço.46 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial fim da fraçãoincremento reto T igual a numerador 0 vírgula 009975 pi sobre denominador 45 vírgula 54115 pi espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial fim da fraçãoincremento reto T igual a 2 vírgula 19 espaço. espaço 10 à potência de menos 4 fim do exponencial espaço. espaço 10 à potência de 6 espaçoincremento reto T igual a 2 vírgula 19 espaço. espaço 10 ao quadradoincremento reto T igual a 219 espaço º C

Questão 7

Considere uma peça triangular feita de um material com coeficiente de dilatação superficial de 20 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço sinal de grau reto C à potência de menos 1 fim do exponencial.

Em equilíbrio térmico com o ambiente, ela se encontra à 20 °C e sua área é de 4 raiz quadrada de 3 espaço cm ao quadrado. Sua temperatura foi elevada para 70 °C.

Sendo o triângulo equilátero e, supondo uma distribuição de calor uniforme na superfície, determine a variação em centímetros da medida de seus lados.

Gabarito explicado

A variação de sua área é de:

incremento reto A igual a reto A com reto i subscrito espaço. espaço reto beta espaço. espaço incremento reto Tincremento reto A igual a 4 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 20 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço. espaço parêntese esquerdo 70 menos 20 parêntese direitoincremento reto A igual a 4 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 20 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço. espaço 50incremento reto A igual a 4000 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial

Como a variação da área é a área final menos a inicial:

reto A com reto f subscrito espaço menos espaço reto A com reto i subscrito espaço igual a espaço incremento reto Areto A com reto f subscrito espaço igual a incremento reto A espaço mais espaço reto A com reto i subscrito

A área final é de:

reto A com reto f subscrito espaço igual a 4000 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço mais espaço 4 raiz quadrada de 3

Cálculo da medida inicial do lado:

A área de um triângulo equilátero é dado por:

reto A igual a numerador reto l ao quadrado espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração

Se a área inicial é de 4 raiz quadrada de 3, inicialmente seu lado possuia:

4 raiz quadrada de 3 igual a numerador reto l ao quadrado espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração4 espaço. espaço 4 espaço igual a espaço reto l ao quadrado16 espaço igual a espaço espaço reto l ao quadradoraiz quadrada de 16 espaço igual a espaço raiz quadrada de reto l ² fim da raiz4 espaço c m igual a espaço reto l

Cálculo da medida final do lado:

reto A igual a numerador reto l ao quadrado espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração

Substituindo o valor anterior em A, calculamos para l:

4000 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço mais espaço 4 raiz quadrada de 3 espaço igual a espaço numerador reto l ao quadrado espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração4. abre parênteses 4000 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço mais espaço 4 raiz quadrada de 3 fecha parênteses espaço igual a espaço reto l ao quadrado espaço. espaço raiz quadrada de 3numerador 4. abre parênteses 4000 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço mais espaço 4 raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração espaço igual a espaço reto l ao quadrado

Colocando em evidência a raiz de três e o fator 4:

numerador 4.4. raiz quadrada de 3 abre parênteses 1000 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço mais espaço 1 fecha parênteses sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração espaço igual a espaço reto l ao quadradonumerador 4.4. riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado abre parênteses 1000 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço mais espaço 1 fecha parênteses sobre denominador riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado fim da fração espaço igual a espaço reto l ao quadrado16 parêntese esquerdo 1000. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial mais espaço 1 parêntese direito igual a espaço reto l ao quadrado

Igualando as potências de 10 dentro dos parenteses:

16 espaço parêntese recto esquerdo parêntese esquerdo 0 vírgula 001 espaço. espaço 10 à potência de 0 espaço mais espaço 1 espaço. espaço 10 à potência de 0 parêntese direito parêntese recto direito espaço igual a espaço reto l ²16 parêntese recto esquerdo 1 vírgula 001 parêntese recto direito espaço igual a espaço reto l ²16 vírgula 001 espaço igual a espaço reto l ²

Aplicando raiz quadrada aos dois lados da equação:

raiz quadrada de 16 vírgula 001 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de reto l ² fim da raiz4 vírgula 0001 espaço aproximadamente igual espaço reto l

Assim, a variação no comprimento do lado do triângulo foi de, aproximadamente:

4,0001 – 4 = 0,0001

ou

10 à potência de menos 4 fim do exponencial cm

Questão 8

A figura a seguir representa a variação do comprimento linear de um corpo em função de sua temperatura. Baseado no gráfico, determine o coeficiente de dilatação superficial do material.

Gráfico

Gabarito explicado

Temos que a variação de comprimento foi de:

incremento reto T igual a 1 vírgula 001 espaço menos espaço 1incremento reto T igual a 0 vírgula 001 espaço reto m

A variação de temperatura:

incremento reto T igual a 80 espaço menos espaço 20incremento reto T igual a 60 espaço º reto C

O coeficiente de dilatação linear é a inclinação da reta, ou, seu coeficiente angular.

Podemos determiná-lo pela tangente:

reto alfa espaço igual a espaço numerador 0 vírgula 001 sobre denominador 60 fim da fraçãoreto alfa espaço igual a espaço 1 vírgula 6 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço º reto C à potência de menos 1 fim do exponencial

Questão 9

O gráfico mostra três retas representando as variações nos comprimentos de três materiais diferentes em relação à mesma temperatura T.

Gráfico

O material mais sensível à mudança de temperatura e a justificativa para este fato são: o material de

a) linha laranja, pois entre os três é o que adquire menor valor de comprimento L, após alcançar a mesma temperatura T das outras retas.

b) linha laranja, por apresentar o “menor caminho” do ponto inicial (Li) até a abscissa T.

c) linha azul, por estar entre a verde e a laranja, o que mostra estar próximo da média das outras duas, sendo mais estável.

d) linha verde, por ter “maior comprimento” entre o ponto inicial (Li) e a abscissa T.

e) linha verde, por apresentar o maior valor de comprimento L, após alcançar a mesma temperatura T das outras retas.

Gabarito explicado

O material de linha verde é mais sensível às mudanças de temperatura por apresentar maior variação em seu comprimento (L – Li) quando submetido à mesma variação de temperatura dos outros materiais.

Questão 10

Um cilindro com 2 m de diâmetro e 1 m de altura sofre uma variação volumétrica de 200. pi espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial espaço m ao cubo ao ter sua temperatura alterada em 40 ºC.

Seu coeficiente dilatação superficial é

Gabarito explicado

Ao determinar seu coeficiente de dilatação volumétrica podemos obter o coeficiente superficial pela relação:

gama igual a 3 alfa

Também

beta igual a 2 alfa

Onde beta espaçoé o coeficiente superficial e gama o volumétrico.

Cálculo do volume inicial.

reto V com reto i subscrito igual a reto A com reto b subscrito. reto hreto V com reto i subscrito igual a reto pi. reto r ao quadrado. reto hreto V com reto i subscrito igual a reto pi.1 ao quadrado.1reto V com reto i subscrito igual a reto pi espaço reto m ao cubo

A variação volumétrica é dada pela fórmula:

incremento V igual a V com 0 subscrito espaço. espaço gama espaço. espaço incremento T

Substituindo os valores e resolvendo para gama:

reto gama igual a numerador incremento reto V sobre denominador reto V com 0 subscrito espaço. espaço incremento reto T fim da fraçãoreto gama igual a numerador espaço 200 reto pi espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial sobre denominador reto pi espaço. espaço 40 fim da fraçãoreto gama igual a numerador espaço diagonal para cima risco 200 espaço. espaço diagonal para cima risco reto pi espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial sobre denominador diagonal para cima risco reto pi espaço. riscado diagonal para cima sobre espaço 40 fim do riscado fim da fraçãoreto gama igual a 5 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial

Podemos determinar o coeficiente de dilatação linear.

reto gama igual a 3. reto alfareto gama sobre 3 igual a reto alfa

Como alfa igual a 2 beta, na equação anterior, temos:

reto gama sobre 3 igual a 2 reto betanumerador reto gama sobre denominador 2 espaço. espaço 3 fim da fração igual a reto betareto gama sobre 6 igual a reto beta

Assim, o coeficiente de dilatação superficial será de:

reto beta igual a numerador 5 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencial sobre denominador 6 fim da fraçãoreto beta espaço aproximadamente igual espaço 0 vírgula 83 espaço. espaço 10 à potência de menos 6 fim do exponencialreto beta espaço aproximadamente igual espaço 8 vírgula 3 espaço. espaço 10 à potência de menos 5 fim do exponencial espaço º C à potência de menos 1 fim do exponencial

Para praticar mais:

Exercícios de dilatação térmica (resolvidos)

Para relembrar a teoria:

Com informações do Toda Matéria