As Leis de Kepler estudam os movimentos dos corpos celestes em suas órbitas. Assunto visto no colégio e muito cobrado em vestibulares.

Tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos sobre as três Leis de Kepler.

Exercício 1

Johannes Kepler foi um matemático e astrônomo alemão que viveu entre 1571 e 1630. Seu trabalho foi fundamental para a revolução científica e ajudou a formar a base da mecânica celeste.

A Primeira Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Órbitas, afirma que:

a) Os planetas se movem em órbitas circulares ao redor do Sol.

b) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol localizado em um dos focos da elipse.

c) Os planetas se movem em órbitas parabólicas ao redor do Sol, com o Sol localizado no vértice da parábola.

d) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol localizado no centro da elipse.

e) Os planetas se movem em órbitas hiperbólicas ao redor do Sol, com o Sol localizado em um dos focos da hipérbole.

Gabarito explicado

Resolução

Segundo a primeira Lei de Kepler, as órbitas de corpos menos massivos ao redor de corpos mais massivos são elípticas, e não circulares como se acreditava.

Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol localizado em um dos focos da elipse.

Exercício 2

Segundo a Primeira Lei de Kepler, os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol. Em relação aos conceitos de periélio e afélio, qual das afirmações abaixo é correta?

a) No periélio, o planeta está mais distante do Sol e sua velocidade orbital é menor.

b) No afélio, o planeta está mais próximo do Sol e sua velocidade orbital é maior.

c) No periélio, o planeta está mais próximo do Sol e sua velocidade orbital é maior.

d) No afélio, o planeta está mais distante do Sol e sua velocidade orbital é menor.

e) Tanto no periélio quanto no afélio, a distância do planeta ao Sol e sua velocidade orbital permanecem constantes.

Gabarito explicado

Resolução

Periélio é o ponto da órbita onde o planeta está mais próximo do Sol. Neste momento da translação o planeta atinge a máxima velocidade.

Exercício 3

A Segunda Lei de Kepler, em particular, detalha como a velocidade dos planetas varia ao longo de suas órbitas, oferecendo uma visão mais profunda sobre as forças que regem o movimento celestial.

A Segunda Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Áreas Iguais, afirma que:

a) Os planetas se movem mais rápido quando estão mais distantes do Sol.

b) Os planetas se movem mais devagar quando estão mais próximos do Sol.

c) O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

d) O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas desiguais em intervalos de tempo iguais.

e) A velocidade de um planeta em sua órbita é constante.

Gabarito explicado

Resolução

Raio vetor, ou vetor orbital, é uma linha imaginária que liga um planeta ao Sol. Durante o movimento de translação, a área varrida pelo vetor será igual para intervalos de tempo iguais. Independente do trecho da elipse.

Exercício 4

A segunda Lei de Kepler enuncia que áreas iguais são varridas pelo vetor orbital de um planeta em intervalos de tempo iguais.

Durante 46 dias, o vetor orbital de um planeta varre 1/7 da área completa de sua órbita. Assim, pode-se afirmar que seu período orbital é de:

Gabarito explicado

Se 1/7 da área é varrida em 46 dias, o período orbital completo equivale a 7/7.

Temos assim,

46 x 7 = 322 dias.

Exercício 5

A Terceira Lei de Kepler, também conhecida como a Lei dos Períodos, relaciona o período orbital dos planetas com suas distâncias médias ao Sol, fornecendo uma ferramenta crucial para entender a dinâmica dos sistemas planetários.

A Terceira Lei de Kepler, afirma que:

a) O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.

b) O quadrado do período orbital de um planeta é inversamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.

c) O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância mínima ao Sol.

d) O cubo do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao quadrado da sua distância média ao Sol.

e) O período orbital de um planeta é diretamente proporcional à sua distância média ao Sol.

Gabarito explicado

Resolução

A Terceira Lei de Kepler, ou Lei dos Períodos, estabelece que:

O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.

Matematicamente pode ser expressa pela fórmula:

reto T ao quadrado sobre reto r ao cubo igual a reto K

Onde,

T é o período orbital;
r é a distância média ao Sol.
K uma constante.

Exercício 6

Suponha um corpo celeste X que se movimenta pelo sistema solar com órbita elíptica. Um ano de X correspondem a 17 anos da Terra.

Se o raio orbital de X é 1/4 do raio orbital de outro corpo celeste Y, quantos anos terrestres equivalem um ano em Y.

a) Um ano em Y equivalem a 4 anos terrestres.

b) Um ano em Y equivalem a 16 anos terrestres.

c) Um ano em Y equivalem a 64 anos terrestres.

d) Um ano em Y equivalem a 136 anos terrestres.

e) Um ano em Y equivalem a 256 anos terrestres.

Gabarito explicado

Resolução

O objetivo do problema é determinar o período de Y em função do período da Terra T.

O problema nos fornece que o período de X é 17 vezes maior que o da Terra. Também, que o raio de orbital de X é um quarto do de Y.

Para resolver a questão, utilizamos a terceira Lei de Kepler, onde:

T com T subscrito é o período da Terra.

T com X subscrito é o período de X.

T com Y subscrito é o período de Y.

Da mesma forma, r com T subscrito vírgula espaço r com X espaço subscrito fim do subscrito reto e espaço r com Y subscrito são, respectivamente, os raio orbitais da Terra, de X e de Y.

Terceira Lei de Kepler entre a Terra e Y. (equação I)

reto T com reto T subscrito ao quadrado sobre reto r com reto T subscrito ao cubo igual a Ty ao quadrado sobre reto r com y subscrito ao cuboTy ao quadrado igual a reto T com reto T subscrito ao quadrado. espaço reto r com y subscrito ao cubo sobre reto r com reto T subscrito ao cubo

Assim, para resolver a questão, precisamos de reto r com y subscrito ao cubo sobre reto r com reto T subscrito ao cubo.

Terceira Lei de Kepler entre a Terra e X.

reto T com reto T subscrito ao quadrado sobre reto r com reto T subscrito ao cubo igual a reto T com reto X subscrito ao quadrado sobre reto r com reto X subscrito ao cubonumerador reto T com reto T subscrito ao quadrado sobre denominador reto T com reto X subscrito ao quadrado espaço fim da fração reto r com reto X subscrito ao cubo igual a reto r com reto T subscrito ao cubo

Como o período da Terra é 1, reto T com reto T subscrito ao quadrado igual a 1 ao quadrado igual a 1. Ainda, T com x subscrito igual a 17 T com T subscrito espaço igual a espaço 17 espaço. espaço 1 espaço igual a espaço 17.

Substituindo:

numerador 1 sobre denominador 17 ao quadrado espaço fim da fração reto r com reto X subscrito ao cubo igual a reto r com reto T subscrito ao cubonumerador reto r com reto X subscrito ao cubo sobre denominador 17 ao quadrado espaço fim da fração igual a reto r com reto T subscrito ao cubo

Guardamos essa relação para substituir na equação I.

O problema também fornece que r com X subscrito igual a 1 quarto r com y subscrito. Logo:

r com Y subscrito igual a 4. r com X subscrito

Guardamos essa relação para substituir na equação I.

Substituindo os valores guardados na equação I.

Ty ao quadrado igual a reto T com reto T subscrito ao quadrado. espaço numerador abre parênteses 4. r com X subscrito fecha parênteses ao cubo sobre denominador numerador reto r com reto X subscrito ao cubo sobre denominador 17 ao quadrado espaço fim da fração fim da fraçãoTy ao quadrado igual a reto T com reto T subscrito ao quadrado. espaço numerador 4 ao cubo. espaço reto r com reto X subscrito ao cubo sobre denominador numerador reto r com reto X subscrito ao cubo sobre denominador 17 ao quadrado espaço fim da fração fim da fraçãoTy ao quadrado igual a reto T com reto T subscrito ao quadrado. espaço 4 ao cubo. espaço reto r com reto X subscrito ao cubo. espaço 17 ao quadrado sobre reto r com reto X subscrito ao cuboTy ao quadrado igual a reto T com reto T subscrito ao quadrado. espaço 4 ao cubo. espaço 17 ao quadrado espaçoTy igual a raiz quadrada de reto T com reto T subscrito ao quadrado. espaço 4 ao cubo. espaço 17 ao quadrado espaço fim da raizTy igual a raiz quadrada de reto T com reto T subscrito ao quadrado fim da raiz. espaço raiz quadrada de 4 ao cubo fim da raiz. espaço raiz quadrada de 17 ao quadrado fim da raizTy igual a reto T com reto T subscrito.17. raiz quadrada de 64Ty igual a reto T com reto T subscrito.17.8Ty igual a 136. reto T com reto T subscrito

Aprende mais sobre as Leis de Kepler.

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Com informações do Toda Matéria