Integral de: sen^5(x) dx – Método numérico 3

Em primeiro lugar, vamos continuar com a nossa amiga, já a resolvemos analíticamente, e utilizamos os método numérico de Trapézio e 1/3 de Simpson, hoje vamos de 1/3 de Simpson. E assim…, não se preocupe, pois exploraremos todos os detalhes dessa técnica a quel chamamos de integral de sen^5(x) dx.

De maneira geral, como já vimos o processo de resolução utilizando os métodos numéricos baseia-se em dividir o intervalo em partes iguais, encontrar valores igualmente espaçados dentro dessas partes, multiplicá-los por um “vetor” característico que depende do método escolhido e, em seguida, realizar operações simples de somatório e multiplicação. Então, abordaremos esses detalhes em breve.

Mas, por enquanto, vamos nos aprofundar um pouco mais na parte teórica.

Integral de: sen^5(x) dx e os 3/8 de Simpson

Com efeito, a regra 3/8 de Simpson e a regra 1/3 de Simpson são duas técnicas de integração numérica usadas para aproximar o valor de uma integral definida. Porém, ambas são métodos de Simpson que se baseiam na interpolação polinomial para estimar a área sob a curva de uma função.

Entretanto, a principal diferença entre essas duas regras está no grau do polinômio usado para interpolar os pontos da função. Vamos analisar as duas regras separadamente:

Regra 1/3 de Simpson:
- Nessa regra, a função é aproximada por um polinômio de segundo grau (parábola) entre os pontos de dados.
- Ela requer um número par de pontos igualmente espaçados.
- A fórmula da regra 1/3 de Simpson é geralmente expressa como uma soma ponderada dos valores da função nos pontos dados.
Regra 3/8 de Simpson:
- Na regra 3/8, a função é aproximada por um polinômio de terceiro grau (cúbico) entre os pontos de dados.
- Ela requer um número de pontos múltiplo de 3.
- A fórmula da regra 3/8 de Simpson também é uma soma ponderada dos valores da função nos pontos dados, mas a fórmula é mais complexa devido à interpolação cúbica.

Entretanto…

A afirmação de que a regra 3/8 é “duas vezes mais precisa” que a regra 1/3 é uma simplificação geral. Na verdade, a precisão de ambas as regras depende da função que está sendo integrada e da escolha dos pontos de amostragem. Todavia, a regra 3/8 tende a ser mais precisa em algumas situações, especialmente quando a função é complexa e não pode ser adequadamente representada por um polinômio de segundo grau. No entanto, a regra 1/3 ainda é muito usada e eficaz em muitos casos.

Em resumo, ambas as regras têm seus usos e limitações, e a escolha entre elas depende da natureza da função a ser integrada e dos requisitos de precisão. A regra 3/8 é mais precisa em geral, mas também requer um número de pontos múltiplo de 3, o que pode ser uma limitação em algumas situações.

Então vamos lá… Falarmos sobre a 3/8 de Simpson e da Integral de: sen^5(x) dx

Entende-se que essa é uma técnica de integração numérica que aproxima a integral definida de uma função no intervalo [a, b] dividindo-o em subintervalos igualmente espaçados e usando polinômios cúbicos para interpolar a função dentro desses subintervalos.

Portanto, a ideia principal é que, para utilizar a regra 3/8 de Simpson, você divide o intervalo [a, b] em um número de subintervalos múltiplo de 3. Isso significa que você escolhe o valor de “h” de forma que a largura de cada subintervalo seja igual. Para dividir o intervalo [a, b] em três subintervalos igualmente espaçados.

Dessa forma:

$h = \dfrac{b-a}{3}$ $h = \dfrac{b-a}{3}$

Desta forma, x0 = a, x1 = a +2h, x2 = a+3h, x3 = a 3h. Assim, o polinômio de terceiro grau P3 pode ser obtido pela fórmula de Lagrange (já fizemos a demostração do fôrmula de lagrange para .

Com efeito, a integral pelo método de 3/8 Simpson fica aproximadamente:

$\int_{a}^{b} P_{3}(x)dx = \frac{3h}{8} (y_{0} + 3y_{1}+3y_{2}+y_{3})$ $\int_{a}^{b} P_{3}(x)dx = \frac{3h}{8} (y_{0} + 3y_{1}+3y_{2}+y_{3})$

O erro na Regra 3/8 de Simpson para funções de ordem superior pode ser calculado usando a seguinte expressão:

$\varepsilon =-\frac{3}{80}f^{4}(\tau)h^{5}$ $\varepsilon =-\frac{3}{80}f^{4}(\tau)h^{5}$

Dessa maneira, essa expressão fornece uma estimativa do erro na integral calculada pela Regra 3/8 de Simpson.

Pois, quanto menor o erro desejado, menor deve ser o valor de (b – a) e a quarta derivada da função f(x) deve ser avaliada ou estimada com precisão.

Regra 3/8 de Simpson Composta

Assim, a fórmula para essa aproximação é a seguinte:

$A_{1} = \frac{3h}{8}(y_{0} + 3y_{1}+3y_{2}+y_{3})$ $A_{1} = \frac{3h}{8}(y_{0} + 3y_{1}+3y_{2}+y_{3})$

$A_{2} = \frac{3h}{8}(y_{3} + 3y_{4}+3y_{5}+y_{6})$ $A_{2} = \frac{3h}{8}(y_{3} + 3y_{4}+3y_{5}+y_{6})$

$A_{3} = \frac{3h}{8}(y_{6} + 3y_{7}+3y_{8}+y_{9})$ $A_{3} = \frac{3h}{8}(y_{6} + 3y_{7}+3y_{8}+y_{9})$

…

$A_{n} = \frac{3h}{8}(y_{n-3} + 3y_{n-2}+3y_{n-1}+y_{n})$ $A_{n} = \frac{3h}{8}(y_{n-3} + 3y_{n-2}+3y_{n-1}+y_{n})$

$I_{\frac{3}{8}} = \frac{3h}{8}\left [ y_{0}+3y_{1}+3y_{2} +2y_{3}+ 3y_{4}+3y_{5}... 2y_{3n-3}+ 3y_{3n-2}+ 3y_{3n-1} + y_{3n}\right ]$ $I_{\frac{3}{8}} = \frac{3h}{8}\left [ y_{0}+3y_{1}+3y_{2} +2y_{3}+ 3y_{4}+3y_{5}... 2y_{3n-3}+ 3y_{3n-2}+ 3y_{3n-1} + y_{3n}\right ]$

O erro fica sendo assim!

$\varepsilon =-\frac{3n}{80}f^{4}(\tau)h^{5}$ $\varepsilon =-\frac{3n}{80}f^{4}(\tau)h^{5}$

Portanto, onde:

ε é o erro na aproximação da integral.
Portanto, f^4(τ) é a quarta derivada da função f(x) avaliada em um ponto τ no intervalo [a, b], lembrando que não havendo função, dever ser encontrado de forma numérica (o que perde o sentido, mas vai lá, é a teoria).
Com efeito, h é o comprimento do subintervalo, dado por h = b – a.

O valor de τ está entre ‘a’ e ‘b’, ou seja, a ≤ τ ≤ b.

Dessa maneira, essa fórmula é útil para estimar o erro e decidir quantos subintervalos devem ser usados para obter uma aproximação suficientemente precisa da integral. Contudo, quanto menor você deseja que seja o erro, mais subintervalos devem ser usados na subdivisão do intervalo [a, b] e para esse método n precisa ser múltiplo de 3 (4 pontos, n =0, n=1, n=2 e n= 3) .

Com efeito, onde:

Então.. resolvendo nossa integral

Primeiramente, vamos definir um intervalo a = 0 e b = 2, e o número de subintervalos n = 6.

$\int_{0}^{2} sen^{5}(x) dx$ $\int_{0}^{2} sen^{5}(x) dx$

Como não temos os dados, vamos primeiro criar os valores de x_i:

h sendo:

$h =\frac{2-0}{6} = \frac{1}{3}$ $h =\frac{2-0}{6} = \frac{1}{3}$

e xi como :

$x_{i} = a + h_{i}$ $x_{i} = a + h_{i}$

assim temos (vamos usar 5 casas decimais de aproximação):

$x_{0} = 0$ $x_{0} = 0$

$x_{1} = x_{0} + \frac{1}{3} = 0,33333$ $x_{1} = x_{0} + \frac{1}{3} = 0,33333$

$x_{2} = x_{1} + \frac{1}{3} = 0,66667$ $x_{2} = x_{1} + \frac{1}{3} = 0,66667$

$x_{3} = x_{2} + \frac{1}{3} = 1,00000$ $x_{3} = x_{2} + \frac{1}{3} = 1,00000$

$x_{4} = x_{3} + \frac{1}{3} = 1,33333$ $x_{4} = x_{3} + \frac{1}{3} = 1,33333$

$x_{5} = x_{4} + \frac{1}{3} =1,66667$ $x_{5} = x_{4} + \frac{1}{3} =1,66667$

$x_{6} = x_{5} + \frac{1}{3} = 2,00000$ $x_{6} = x_{5} + \frac{1}{3} = 2,00000$

Dessa maneira, agora precisamos aplicar esses valores na função (também com 5 casas decimais) :

$f(x) =sen^{5}(x)$ $f(x) =sen^{5}(x)$

$f(x_{0}) =sen^{5}(x_{0}) = sen^{5}(0) = 0$ $f(x_{0}) =sen^{5}(x_{0}) = sen^{5}(0) = 0$

$f(x_{1}) =sen^{5}(x_{1}) = sen^{5}(0,33333) = 0,00375$ $f(x_{1}) =sen^{5}(x_{1}) = sen^{5}(0,33333) = 0,00375$

$f(x_{2}) =sen^{5}(x_{2}) = sen^{5}(0,66667) = 0,09042$ $f(x_{2}) =sen^{5}(x_{2}) = sen^{5}(0,66667) = 0,09042$

$f(x_{3}) =sen^{5}(x_{3}) = sen^{5}(1,00000) = 0,42189$ $f(x_{3}) =sen^{5}(x_{3}) = sen^{5}(1,00000) = 0,42189$

$f(x_{4}) =sen^{5}(x_{4}) = sen^{5}(1,33333) = 0,86735$ $f(x_{4}) =sen^{5}(x_{4}) = sen^{5}(1,33333) = 0,86735$

$f(x_{5}) =sen^{5}(x_{5}) = sen^{5}(1,66667) = 0,97725$ $f(x_{5}) =sen^{5}(x_{5}) = sen^{5}(1,66667) = 0,97725$

$f(x_{6}) =sen^{5}(x_{6}) = sen^{5}(2,00000) = 0,62163$ $f(x_{6}) =sen^{5}(x_{6}) = sen^{5}(2,00000) = 0,62163$

Prontinho, agora, vamos fazer as “multiplicações”, para ficar claro, vamos fazer passo a passo:

$A_{i} = \frac{3h}{8}\left [ y_{0}+3y_{1}+3y_{2} +2y_{3}+ 3y_{4}+3y_{5}... 2y_{3n-3}+ 3y_{3n-2}+ 3y_{3n-1} + y_{3n}\right ]$ $A_{i} = \frac{3h}{8}\left [ y_{0}+3y_{1}+3y_{2} +2y_{3}+ 3y_{4}+3y_{5}... 2y_{3n-3}+ 3y_{3n-2}+ 3y_{3n-1} + y_{3n}\right ]$

$A_{i} = (\frac{3*(1/3)}{8}) * [f(x_{0}) + 3*f(x_{1}) +3*f(x_{2}) +2*f(x_{3}) + 3*f(x_{4}) + 3*f(x_{5}) + f(x_{6}) ]$ $A_{i} = (\frac{3*(1/3)}{8}) * [f(x_{0}) + 3*f(x_{1}) +3*f(x_{2}) +2*f(x_{3}) + 3*f(x_{4}) + 3*f(x_{5}) + f(x_{6}) ]$

$A_{i} = (\frac{1}{8}) * [0 + 3*(0,00375) +3*(0,09042)+2*(0,42189) + 3*(0,86735) + 3*(0,97725)+ 0,62163 ]$ $A_{i} = (\frac{1}{8}) * [0 + 3*(0,00375) +3*(0,09042)+2*(0,42189) + 3*(0,86735) + 3*(0,97725)+ 0,62163 ]$

$A_{i} = (\frac{1}{8}) * [0 + 0,01125+ 0,27125 + 0,84377 + 2,60804 + 2,93175 + 0,62163 ]$ $A_{i} = (\frac{1}{8}) * [0 + 0,01125+ 0,27125 + 0,84377 + 2,60804 + 2,93175 + 0,62163 ]$

$A_{i} = (\frac{1}{8}) * [7,28168]$ $A_{i} = (\frac{1}{8}) * [7,28168]$

$A_{i} = 0,91021$ $A_{i} = 0,91021$

Assim, encontramos o valor, a nível de curiosidade, o valor real é aproximadamente 0,90393! Dessa maneira, com apenas 6 subintervalos, tivemos uma boa aproximação, lembrando que quanto maior o valor de n, mais próximo do valor real.

Algorítmo em Python (Colab)

import math

def simpson_3_8_meu_guru(a, b, n):
    h = (b - a) / n  # Tamanho de cada subintervalo
    integral = f(a) + f(b)  # Inicialize a integral com os valores nos extremos

    for i in range(1, n):
        x_i = a + i * h
        if i % 3 == 0:
            integral += 2 * f(x_i)
        else:
            integral += 3 * f(x_i)

    integral *= (3 * h / 8)
    return integral



# Exemplo de uso:
def funcao(x):
    return math.sin(x)**5

a = 0
b = 2
n = 6

resultado = simpson_3_8_meu_guru(a, b, n)
print(f"A integral aproximada é: {resultado}")

O resultado é 0.9102104989040074 para n = 6, porém, fazendo uma simulação com n = 10000, vimos que o resultado se aproximou do valor real (0.90393).

Referências:

Se você curtiu esse artigo, não pode deixar de dar uma olhada nas referências, pois elas nortearão os seus estudos e tenho certeza que você melhorará a cada dia no que se tange aos cálculos. Afinal, treino é tudo!

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